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In mwawmatematica, in particolare in mwbaalgebra lineare, una mwbqmatrice quadrata è detta mwbginvertibile, o mwbwregolare, o mwcanon singolare se esiste un'altra matrice tale che il mwcqprodotto matriciale tra le due restituisce la mwcgmatrice identità.

L'insieme delle matrici invertibili di dimensioni mwda n × × n {\displaystyle n\times n} è un gruppo moltiplicativo rispetto all'ordinaria operazione di prodotto matriciale; tale struttura algebrica è detta mwdqgruppo generale lineare ed è indicata con il simbolo mwdg G L ( n ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n)} .

• Definizione

• Definizioni equivalenti

• Proprietà

• Matrici reali

• Matrice invertibile in un anello

• Sistemi lineari

• Calcolo della matrice inversa

• Matrici di ordine 2

• Metodo della matrice dei cofattori

• Algoritmo di Gauss-Jordan

• Inversa di una matrice partizionata

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Collegamenti esterni

Una mwegmatrice quadrata mwew A n × × n {\displaystyle A_{n\times n}} è detta invertibile se esiste una matrice mwfa B n × × n {\displaystyle B_{n\times n}} tale che:cite-ref-def-1-0[1]

mwgw A B = B A = I n {\displaystyle AB=BA=I_{n}}

dove mwhq I n {\displaystyle I_{n}} denota la mwhgmatrice identità mwhw n × × n {\displaystyle n\times n} e la moltiplicazione usata è l'ordinaria mwiamoltiplicazione di matrici.

Se è questo il caso, allora la matrice mwig B {\displaystyle B} è univocamente determinata da mwiw A {\displaystyle A} ed è chiamata l'mwjainversa di mwjq A {\displaystyle A} , indicata con mwjg A − − 1 {\displaystyle A^{-1}} .

Nella definizione, le matrici mwka A {\displaystyle A} e mwkq B {\displaystyle B} hanno valori in un mwkganello con unità.

Una mwlqmatrice mwlg A {\displaystyle A} è mwlwsingolare se ha mwmadeterminante uguale a zero. Tra le affermazioni elencate sotto, la più importante dice che se mwmq A {\displaystyle A} ha valori in un mwmgcampo, come ad esempio quello dei numeri mwmwreali o mwnacomplessi, la matrice è invertibile se e solo se non è singolare.

Sia mwng A {\displaystyle A} una matrice quadrata mwnw n × × n {\displaystyle {n\times n}} con valori in un mwoacampo mwoq k k {\displaystyle \Bbbk } (ad esempio, il campo dei mwognumeri reali o mwowcomplessi).

Le seguenti affermazioni sono equivalenti e caratterizzano una matrice mwpq A {\displaystyle A} invertibile:

• Esiste una matrice mwqa B n × × n {\displaystyle B_{n\times n}} tale che mwqq A B = B A = I n {\displaystyle AB=BA=I_{n}} .

• Il mwqwdeterminante non è nullo: mwra det A ≠ ≠ 0 {\displaystyle \det A\neq 0} .

• Il mwrgrango di mwrw A {\displaystyle A} è mwsa n {\displaystyle n} .

• La mwsgtrasposta mwsw A T {\displaystyle A^{T}} è una matrice invertibile.

• L'mwtqequazione mwtg A x = 0 {\displaystyle Ax=0} (con mwtw x {\displaystyle x} e mwua 0 {\displaystyle 0} mwuqvettori colonna in mwug k k n {\displaystyle \Bbbk ^{n}} ) ha solamente la soluzione banale mwuw x = 0 {\displaystyle x=0} .

• L'mwvqequazione mwvg A x = b {\displaystyle Ax=b} ha esattamente una soluzione per ogni mwvw b {\displaystyle b} in mwwa k k n {\displaystyle \Bbbk ^{n}} .

• Le colonne di mwwg A {\displaystyle A} sono mwwwlinearmente indipendenti.

• Le righe di mwxq A {\displaystyle A} sono mwxglinearmente indipendenti.

• Le colonne di mwya A {\displaystyle A} mwyqgenerano mwyg k k n {\displaystyle \Bbbk ^{n}} .

• Le colonne di mwza A {\displaystyle A} formano una mwzqbase di mwzg k k n {\displaystyle \Bbbk ^{n}} .

• L'mwaaapplicazione lineare mwaq L A {\displaystyle L_{A}} da mwag k k n {\displaystyle \Bbbk ^{n}} in mwaw k k n {\displaystyle \Bbbk ^{n}} data da: mwba L A : : x ↦ ↦ A x {\displaystyle L_{A}\colon x\mapsto Ax} è mwbqbiiettiva.

• Il numero 0 non è un mwbwautovalore di mwca A {\displaystyle A} .

• mwcg A {\displaystyle A} è trasformabile nella mwcwmatrice identità mwda I n {\displaystyle I_{n}} tramite l'mwdqalgoritmo di Gauss-Jordan.

• mwdw A {\displaystyle A} è trasformabile mediante mweaalgoritmo di Gauss-Jordan in una mweqmatrice a scalini con mweg n {\displaystyle n} mwewpivot.

• L'inversa di una matrice invertibile mwga A {\displaystyle A} è essa stessa invertibile, e si ha:cite-ref-2[2]

mwhwmwiamwiq ( A − − 1 ) − − 1 = A . {\displaystyle (A^{-1})^{-1}=A.}

• Il prodotto di due matrici invertibili mwja A n × × n {\displaystyle A_{n\times n}} e mwjq B n × × n {\displaystyle B_{n\times n}} è ancora invertibile, con inversa data da:

mwkamwkqmwkg ( A B ) − − 1 = B − − 1 A − − 1 . {\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.}

Come conseguenza delle proprietà precedenti, l'insieme delle matrici invertibili mwla n × × n {\displaystyle n\times n} costituisce un mwlqgruppo con la moltiplicazione, noto come il gruppo generale lineare mwlg G L ( n ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n)} .

Poiché le matrici invertibili formano un gruppo, possono in molti casi essere manipolate come se fossero dei mwmanumeri reali. Ad esempio:

• Se mwmw A {\displaystyle A} è invertibile, l'equazione mwna A X = B {\displaystyle AX=B} ha una sola soluzione, data da mwnq X = A − − 1 B {\displaystyle X=A^{-1}B} . Analogamente mwng X A = B {\displaystyle XA=B} ha come unica soluzione mwnw X = B A − − 1 {\displaystyle X=BA^{-1}} .

Sul campo dei numeri reali l'insieme di tutte le matrici mwog n × × n {\displaystyle n\times n} è uno mwowspazio vettoriale mwpaisomorfo a mwpq R n 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}} , e il sottoinsieme delle matrici non invertibili è un mwpginsieme nullo, cioè ha mwpwmisura di Lebesgue zero, essendo l'insieme degli mwqazeri della funzione mwqqdeterminante, che è un mwqgpolinomio. Intuitivamente, questo vuol dire che la mwqwprobabilità che una matrice quadrata casuale a valori reali sia non-invertibile è zero. Parlando in modo approssimativo, si dice che "quasi tutte" le matrici sono invertibili.

Il teorema della matrice invertibile generalmente non vale in un mwrganello commutativo. In questo caso, la matrice è invertibile se e solo se il suo mwrwdeterminante è una mwsaunità, ossia è invertibile, in questo anello.

Se mwta A {\displaystyle A} è invertibile, l'equazione mwtq A X = B {\displaystyle AX=B} ha una sola soluzione, data da mwtg X = A − − 1 B {\displaystyle X=A^{-1}B} . Analogamente mwtw X A = B {\displaystyle XA=B} ha come unica soluzione mwua X = B A − − 1 {\displaystyle X=BA^{-1}} .

Nel caso particolare in cui mwug X {\displaystyle X} e mwuw B {\displaystyle B} abbiano dimensioni mwva n × × 1 {\displaystyle n\times 1} , ossia siano mwvqvettori colonna, l'equazione mwvg A X = B {\displaystyle AX=B} rappresenta un sistema lineare, dove mwvw A {\displaystyle A} è la matrice dei coefficienti.cite-ref-3[3]

La matrice mwxq A {\displaystyle A} è invertibile se il sistema ha una soluzione unica o, in modo equivalente, se il sistema omogeneo associato ha come unica soluzione il vettore nullo.cite-ref-4[4]

Esistono vari metodi per il calcolo dell'inversa di una matrice quadrata invertibile mwza A {\displaystyle A} .

La matrice inversa di una mwzwmatrice 2 per 2 invertibile

mw0g ( a b c d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}

è la seguente:

mw1g ( d a d − − b c − − b a d − − b c − − c a d − − b c a a d − − b c ) = 1 a d − − b c ( d − − b − − c a ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {d}{{a}{d}-{b}{c}}}&{\frac {-b}{{a}{d}-{b}{c}}}\\{\frac {-c}{{a}{d}-{b}{c}}}&{\frac {a}{{a}{d}-{b}{c}}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{{a}{d}-{b}{c}}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}.}

Si noti come questa formula è ricavabile del metodo dei cofattori sotto spiegato.

Il metodo della matrice dei cofattori risulta particolarmente rapido quando non interessa calcolare tutti gli elementi della matrice inversa, e quando la matrice è di dimensione contenuta. Inoltre, la presenza di variabili letterali tra gli elementi non aumenta di molto la complessità del calcolo.

Data una matrice mw3a A {\displaystyle A} quadrata e invertibile:

mw3w A = ( [ A ] 1 , 1 … … [ A ] 1 , n ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ [ A ] n , 1 … … [ A ] n , n ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}\;[A]_{1,1}&\ldots &[A]_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\;[A]_{n,1}&\ldots &[A]_{n,n}\\\end{pmatrix}}}

la sua inversa mw4q A − − 1 {\displaystyle A^{-1}} è la seguente:

mw5a A − − 1 = 1 det ( A ) ⋅ ⋅ ( c o f A ) T {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\cdot (\mathrm {cof} \;A)^{T}}

dove mw5g det ( A ) {\displaystyle \det(A)} è il mw5wdeterminante di mw6a A {\displaystyle A} , la matrice mw6q c o f A {\displaystyle \mathrm {cof} A} è la mw6gmatrice dei cofattori (o mw6wdei complementi algebrici) e l'esponente mw7a T {\displaystyle T} indica l'operazione di mw7qtrasposizione di matrici.

Uno schema mnemonico per la variazione del segno mw7w ( − − 1 ) i + j {\displaystyle (-1)^{i+j}} è il seguente:

mw8g ( + − − + … … − − + − − … … + − − + … … ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}+&-&+&\ldots \\-&+&-&\ldots \\+&-&+&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}

Si consideri la matrice mw9q A {\displaystyle A} e la sua inversa mw9g A − − 1 {\displaystyle A^{-1}} . La formula

mw-q A − − 1 = 1 det ( A ) ⋅ ⋅ ( c o f A ) T {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\cdot (\mathrm {cof} \;A)^{T}}

equivale a

mw-q A ( c o f A ) T = I ( det A ) , {\displaystyle A(\mathrm {cof} \;A)^{T}=I(\det A),}

dove mw-w I {\displaystyle I} è la mwaqamatrice identità. Quindi, se mwaqe A i h {\displaystyle A_{ih}} indica l'elemento della matrice mwaqi A {\displaystyle A} nella riga mwaqm i {\displaystyle i} e colonna mwaqq h {\displaystyle h} e mwaqu A ( j , h ) {\displaystyle A_{(j,h)}} indica il mwaqyminore di mwaqc A {\displaystyle A} ottenuto cancellando la riga mwaqg j {\displaystyle j} e la colonna mwaqk h , {\displaystyle h,} si ha

mwaqw ∑ ∑ h = 1 n A i h ( ( c o f A ) T ) h j = ∑ ∑ h = 1 n A i h ( c o f A ) j h = ∑ ∑ h = 1 n A i h ( − − 1 ) j + h det A ( j , h ) = { det A , se i = j , 0 , se i ≠ ≠ j , {\displaystyle \sum _{h=1}^{n}A_{ih}((\mathrm {cof} \;A)^{T})_{hj}=\sum _{h=1}^{n}A_{ih}(\mathrm {cof} \;A)_{jh}=\sum _{h=1}^{n}A_{ih}(-1)^{j+h}\det A_{(j,h)}={\begin{cases}\det A,&{\text{se }}i=j,\\0,&{\text{se }}i\neq j,\end{cases}}}

dove se mwaq4 i ≠ ≠ j {\displaystyle i\neq j} si ha zero poiché la quantità considerata corrisponde al determinante di una matrice mwaq8 A ′ {\displaystyle A'} che si ottiene sostituendo in mwara A {\displaystyle A} la riga mware j {\displaystyle j} -esima con una copia della riga mwari i {\displaystyle i} -esima. La matrice mwarm A ′ {\displaystyle A'} ha quindi due righe uguali e dunque il determinante è 0.

L'mwaryalgoritmo di Gauss-Jordan, può essere usato per trovare (quando esiste) l'inversa di una matrice. Funziona nel modo seguente: sia mwarc A {\displaystyle A} una matrice invertibile. Si costruisce la matrice mwarg B = ( A | I ) {\displaystyle B=(A|I)} con mwark n {\displaystyle n} righe e mwaro 2 n {\displaystyle 2n} colonne affiancando mwars A {\displaystyle A} e la mwarwmatrice identità mwar0 I {\displaystyle I} . A questo punto si applica l'mwar4algoritmo di Gauss-Jordan alla nuova mwar8 B {\displaystyle B} . Questo algoritmo trasforma la matrice mwasa B {\displaystyle B} in una matrice a scalini, che sarà del tipo mwase ( I | C ) {\displaystyle (I|C)} . La matrice mwasi C {\displaystyle C} così trovata è proprio l'inversa di mwasm A {\displaystyle A} . Infatti se si considera la matrice mwasq ( A | e i ) {\displaystyle (A|e_{i})} , il sistema associato ha come unica soluzione un vettore mwasu x i {\displaystyle x_{i}} che per definizione di inversa è la mwasy i {\displaystyle i} -esima colonna della matrice inversa di mwasc A . {\displaystyle A.} Con le operazioni elementari la si trasforma nella matrice mwasg ( I | B i ) {\displaystyle (I|B^{i})} la cui soluzione è sempre il vettore mwask x i {\displaystyle x_{i}} (perché l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare rimane invariato usando le operazioni elementari). Questo equivale a dire che mwaso I x i {\displaystyle Ix_{i}} è uguale a mwass B i , {\displaystyle B^{i},} ossia mwasw B i = x i {\displaystyle B^{i}=x_{i}} . Questo vale per ogni colonna. Quindi, dato che il vettore mwas0 x i {\displaystyle x_{i}} è la mwas4 i {\displaystyle i} -esima colonna della matrice inversa, allora mwas8 C = A − − 1 . {\displaystyle C=A^{-1}.}

L'esempio seguente mostra che l'inversa di:

mwatm A = ( 1 2 2 3 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}}

è la matrice:

mwatc C = ( − − 3 2 2 − − 1 ) . {\displaystyle C={\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}.}

Infatti:

mwats ( 1 2 | 1 0 2 3 | 0 1 ) → → ( − − 2 − − 4 | − − 2 0 2 3 | 0 1 ) → → ( − − 2 − − 4 | − − 2 0 0 − − 1 | − − 2 1 ) → → {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&|&1&0\\2&3&|&0&1\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-2&-4&|&-2&0\\2&3&|&0&1\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-2&-4&|&-2&0\\0&-1&|&-2&1\end{pmatrix}}\to }

mwat4 ( − − 2 − − 4 | − − 2 0 0 4 | 8 − − 4 ) → → ( − − 2 0 | 6 − − 4 0 4 | 8 − − 4 ) → → ( 1 0 | − − 3 2 0 1 | 2 − − 1 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}-2&-4&|&-2&0\\0&4&|&8&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}-2&0&|&6&-4\\0&4&|&8&-4\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}1&0&|&-3&2\\0&1&|&2&-1\end{pmatrix}}.}

Nel primo passaggio si è moltiplicata la prima riga per mwaua − − 2 {\displaystyle -2} , nel secondo si è sommata alla seconda riga la prima, nel terzo si è moltiplicata la seconda riga per mwaue − − 4 {\displaystyle -4} , nel quarto passaggio si è sommata alla prima riga la seconda e infine nell'ultimo passaggio si è divisa la prima riga per mwaui − − 2 {\displaystyle -2} e la seconda per mwaum 4 {\displaystyle 4} . In questo modo si è partiti da una matrice di mwauq ( A | I ) {\displaystyle (A|I)} e si è arrivati a mwauu ( I | C ) {\displaystyle (I|C)} . Si ha che mwauy C {\displaystyle C} è l'inversa di mwauc A {\displaystyle A} .

Data una mwauomatrice partizionata a blocchi:

mwau0 A = ( A 11 A 12 A 21 A 22 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}}

in cui le sottomatrici sulla diagonale mwau8 ( A 11 {\displaystyle (A_{11}} e mwava A 22 ) {\displaystyle A_{22})} sono quadrate e non singolari, si può dimostrare che l'inversa di mwave A {\displaystyle A} risulta uguale a:

mwavq A − − 1 = ( A 11 − − 1 ( I + A 12 B 22 A 21 A 11 − − 1 ) − − A 11 − − 1 A 12 B 22 − − B 22 A 21 A 11 − − 1 B 22 ) {\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}A_{11}^{-1}(I+A_{12}\,B_{22}\,A_{21}A_{11}^{-1})&-A_{11}^{-1}A_{12}\,B_{22}\\-B_{22}A_{21}A_{11}^{-1}&B_{22}\end{pmatrix}}}

dove mwavy I {\displaystyle I} è una mwavcmatrice identità di ordine appropriato e

mwavo B 22 = ( A 22 − − A 21 A 11 − − 1 A 12 ) − − 1 , {\displaystyle B_{22}=(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1},}

ossia

mwav4 A − − 1 = ( B 11 − − B 11 A 12 A 22 − − 1 − − A 22 − − 1 A 21 B 11 A 22 − − 1 ( I + A 21 B 11 A 12 A 22 − − 1 ) ) {\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}B_{11}&-B_{11}A_{12}A_{22}^{-1}\\-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11}&A_{22}^{-1}(I+A_{21}B_{11}A_{12}A_{22}^{-1})\end{pmatrix}}}

con

mwawi B 11 = ( A 11 − − A 12 A 22 − − 1 A 21 ) − − 1 . {\displaystyle B_{11}=(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}.}

cite-note-def-11. ↑ mwawkmwawoS. Lang,mwaws Pag. 68.

cite-note-22. ↑ mwaw8mwaxaHoffman, Kunze,mwaxe Pag. 22.

cite-note-33. ↑ Un ragionamento analogo vale anche per mwaxumwaxymwaxc mwaxg mwaxk mwaxo mwaxsX mwaxwA mwax0= mwax4B mwax8{\displaystyle XA=B} , ma qui mwayemwayimwaym mwayq mwayu mwayy mwaycX mwayg{\displaystyle X} e mwayomwaysmwayw mway0 mway4 mway8 mwazaB mwaze{\displaystyle B} devono essere vettori riga.

cite-note-44. ↑ mwazymwazcHoffman, Kunze,mwazg Pag. 23.

• citereflangSerge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.

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• mwaaq(EN) Dennis Bernstein, Matrix Mathematics, Princeton University Press, 2005, p. 44, ISBN 0-691-11802-7.

• mwaagCofattore (matematica)

• mwaaoGruppo generale lineare

• mwaawMatrice dei cofattori

• mwaa4Matrice quadrata

• mwabaMatrice identità

• mwabiMatrice involutoria

• mwabqMoltiplicazione di matrici

• mwabySistema di equazioni lineari

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